Produtos Apple têm uma orientação de design que remonta a 1874. O que é a curva de Euler?

A curva de Euler é uma curva utilizada em várias áreas da matemática e da engenharia. No design dos iPhones, a forma refere-se à aplicação de uma chave geométrica especial que torna os dispositivos da Apple objetos de desejo!

A geometria do desejo

Se alguma vez se perguntou porque é que os produtos Apple são tão agradáveis ao tato e à vista, a resposta está escondida numa equação matemática com 150 anos. A clotoide, ou espiral de Euler, é a chave geométrica que torna os dispositivos de Cupertino objetos de desejo. Uma curva perfeita que liga o mundo da matemática ao design industrial contemporâneo.

Desde as curvas subtis do iPhone até à transição perfeita entre o ecrã e o corpo de um MacBook Air. Desde a forma ergonómica dos AirPods até à curvatura suave da placa frontal do Apple Watch.

Todos estes produtos, aparentemente diferentes, partilham um ADN geométrico comum: aquela curva matematicamente perfeita que faz com que cada superfície flua naturalmente para a seguinte.

Sim, até a vemos no software. Não é por acaso que, quando colocamos um iPhone ao lado de um iPad, de um Mac ou até do controlo remoto da Apple TV, parecem pertencer à mesma família. É o clotoide que os une.

O que é exatamente uma clotoide?

A clotoide, também conhecida como espiral de Euler ou espiral de Cornu, é uma curva matemática com uma propriedade: a sua curvatura muda proporcionalmente à distância percorrida.

Em termos simples, começa quase como uma linha reta e curva-se gradualmente, sem saltos ou interrupções abruptas.

A espiral de Cornu desenvolvida por Marie Alfred Cornu como um nomograma para os cálculos de difração na ciência e na engenharia.

A sua equação paramétrica é relativamente complexa e envolve os chamados integrais de Fresnel. Mas a sua beleza reside precisamente na forma como transforma conceitos matemáticos abstratos em sensações físicas agradáveis quando interagimos com objetos que a incorporam.

A propriedade que torna esta curva única é a forma como resolve o problema das transições: como passar de uma linha reta para uma curva, ou de uma superfície plana para uma arredondada, de forma a que a mudança seja agradável aos nossos sentidos?

Dos caminhos de ferro até Cupertino: a história de uma curva centenária

O mais curioso sobre a clotoide é que a sua primeira utilização em massa não teve nada a ver com smartphones ou computadores.

A curva foi inicialmente desenvolvida pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1744, mas ganhou relevância prática graças à física francesa Marie Alfred Cornu em 1874, que a estudou em profundidade.

A primeira aplicação em grande escala dos clotoides foi na conceção de vias férreas. Os engenheiros ferroviários do século XIX descobriram que, utilizando esta curva para conceber as transições entre secções retas e curvas, os comboios podiam manter velocidades mais elevadas sem gerar forças laterais abruptas que incomodariam os passageiros ou desestabilizariam a via.

{C(x), S(x)} (Note que a espiral converge para o centro dos buracos na imagem acima conforme x tenta a infinito e a menos infinito.)

Vemos esta curva suave em muitos mais sítios do que pensamos.

Infraestruturas e transportes

• Estradas e autoestradas: as curvas das estradas usam clotoides para garantir transições suaves entre retas e curvas.
• Linhas de comboio: os trilhos ferroviários seguem esta curva para evitar forças laterais abruptas nos comboios.

Arquitetura e design industrial

• Cantos de alguns edifícios modernos e mobiliário.
• Perfis de asas de aviões para otimizar o fluxo de ar.
• Na conceção de lentes e espelhos
• Otimização dos perfis das asas e da fuselagem

Gráficos e animação digital

• Softwares de design (como o Adobe Illustrator) usam curvas de Euler para criar formas suaves.
• Animações e transições gráficas, especialmente em interfaces de utilizador.
• Criação de tipos de letra mais harmoniosos e legíveis

Jony Ive e a equipa de design da Apple não inventaram a clotoide, mas foram pioneiros na sua aplicação à conceção de dispositivos eletrónicos.

Se olharmos para os primeiros Macs antes da chegada de Jonathan Ive, eles tinham uma forma mais quadrada. E isto é algo que ainda hoje podemos ver nos smartphones Android e iOS.

Principais criações de Jony Ive:

• 1998 - iMac G3
• 1999 - iBook com Cinema Display, PowerMac G4 Torre
• 2000 - Cube G4
• 2001 - iPod
• 2002 - iMac G
• 2003 - Powerbook de 12" e 17"
• 2004 - Powerbook G5
• 2005 - Mac Mini
• 2007 - iPhone
• 2008 - MacBook Air
• 2010 - iPad
• 2014 - Apple Watch

A matemática que seduz: o nosso cérebro procura a perfeição geométrica

Porque é que esta curva matemática é tão satisfatória para os nossos sentidos? A resposta combina psicologia, fisiologia e matemática: o nosso sistema visual e tátil é naturalmente atraído por transições suaves.

O clothoid elimina qualquer descontinuidade percetível, criando uma experiência sensorial sem falhas.

Alguns teóricos do design sugerem que existe uma base neurológica. Os nossos cérebros, especializados na deteção de padrões, respondem positivamente a curvas que seguem progressões matemáticas coerentes.

A clotoide, com a sua mudança gradual e previsível, satisfaz esta necessidade cerebral de ordem e coerência.

Outros apontam razões evolutivas: na natureza, as linhas perfeitamente retas são raras, enquanto as transições graduais são comuns em formas orgânicas que evoluíram ao longo de milhões de anos.

O nosso sistema visual estaria “programado” para se sentir confortável com estas formas. Desde a forma como os ramos se curvam até às espirais de certas conchas.

iPhone: A precisão até no agarrar

Quando seguramos num iPhone ou iPad, os nossos dedos passam por superfícies que mudam de curvatura gradualmente, sem pontos em que se note um “salto” ou uma mudança abrupta.

Não existe aquele canto curvo onde se vê onde começa a mudança de forma. Esta continuidade perfeita cria uma sensação de qualidade e precisão que o nosso cérebro interpreta como premium. Ao replicar estes padrões naturais, a Apple faz com que os seus produtos pareçam “corretos” a um nível quase instintivo.

O Clotoid atinge o difícil equilíbrio entre simplicidade e complexidade. É matematicamente sofisticado, mas visualmente limpo e compreensível.

Esta é a mesma filosofia que a Apple aplica às suas interfaces: complexidade interna escondida por detrás de uma aparente simplicidade.

Nos produtos da Apple, onde podemos encontrar a Curva de Euler?

A Curva de Euler (clotoide) é usada pela Apple para criar transições suaves entre superfícies e melhorar a ergonomia. Aqui estão alguns exemplos onde essa curva pode ser encontrada nos produtos da marca:

1. iPhones (iPhone X em diante)

• Os cantos do ecrã seguem uma curva de Euler, em vez de um simples arco de círculo.
• Isso cria uma transição visual e tátil mais fluida entre o ecrã e a moldura.

2. MacBook Pro e MacBook Air

• O design das extremidades dos portáteis usa transições suaves, tornando as bordas mais confortáveis ao toque.
• Os cantos da tampa e do trackpad também são arredondados com esta abordagem.

3. Apple Watch

• A curvatura da caixa do relógio e a forma como o vidro se integra no chassis são desenhados com base em curvas de Euler, garantindo um visual fluido.

4. iPads e iMacs

• O iPad Pro e o iMac (M1, 2021) usam cantos arredondados no ecrã que seguem esta curva, para um aspeto mais natural.

5. Apple Park

• O próprio edifício circular do Apple Park reflete este princípio, com uma estrutura contínua e sem transições abruptas.

A Apple utiliza a curva de Euler para criar produtos visualmente elegantes, ergonomicamente confortáveis e com melhor interação com a luz e sombras.

Em resumo:

O verdadeiro triunfo da Apple não foi inventar ou apropriar-se do clotoide, mas sim reconhecer o seu poder e aplicá-lo a todos os aspetos do design do produto, criando uma linguagem visual coerente e reconhecível.

Talvez o maior elogio a Euler e Cornu seja o facto de, 150 anos depois, milhões de pessoas desfrutarem do seu trabalho matemático todos os dias sem sequer o saberem, sempre que deslizam os dedos pelo ecrã de um iPhone ou acariciam a borda de um MacBook.

A matemática não é apenas útil, pode também ser profundamente bela.